牛津数学面试题：抛硬币游戏的期望值

Adriaan (Harry L.) · Mathematics (Oxford)

竞赛题刷了几百道，MAT 也做得不错，可一到面试，面试官不要答案、只让你"把你现在在想什么说出来"，脑子瞬间空白——这是我见过最多中国学生栽跟头的地方。数学面试考的从来不是速度。

我是 Adriaan，在牛津读数学。下面是一道典型的概率面试题，以及背后那条思路。

游戏规则

你不停地抛一枚硬币。抛出正面，你赢一英镑，然后继续抛；抛出反面，游戏结束，你把手上的钱拿走。

问：这个游戏的期望收益是多少？也就是说，平均而言你能拿走多少钱？

先注意这道题的形状：它没有上限。你可能连抛二十次正面。所以答案一定牵涉一个无穷的和——意识到这一点，你就知道该往哪个工具箱里伸手了。

先老老实实把期望值写出来

设正面的概率是 h，那么反面就是 1 − h。

恰好赢 1 英镑，意味着"一次正面，然后一次反面"，概率是 h(1−h)。 恰好赢 2 英镑，是"两次正面，然后一次反面"，概率是 h²(1−h)。 以此类推。

期望值就是每一种收益乘以它的概率再全部相加：

E = 1·h(1−h) + 2·h²(1−h) + 3·h³(1−h) + …

把 (1−h) 提出来：

E = h(1−h) · (1 + 2h + 3h² + 4h³ + …)

把这一步干净地写下来，就已经完成了一半的工作，而这恰恰是很多人跳过的一半。跳过它的人往往是想直接"看出"答案，然后卡在半空中。

关键一步：认出这是几何级数的导数

这是一个无穷和，漂亮的一步是认出它的形状。

1 + 2h + 3h² + 4h³ + … 正是几何级数的导数。

我们已经知道 1 + h + h² + h³ + … = 1/(1−h)。

那么两边对 h 求导：左边变成 1 + 2h + 3h² + …，右边变成 1/(1−h)²。

所以与其硬着头皮加到无穷，不如把已知的封闭形式拿来求导。

代回去：

E = h(1−h) · 1/(1−h)² = h/(1−h)

期望收益就是正面概率与反面概率之比。

这一步值得多说一句：面试里真正的技巧，往往不是算得快，而是认出眼前的东西你以前见过。 级数、求导、几何级数的封闭形式——这些都是课本里的旧朋友，只是换了件衣服站在这儿。

拿公平硬币验算一遍

永远拿一个简单情形去检验答案。

公平硬币 h = 1/2，代入 h/(1−h) 得到 (1/2)/(1/2) = 1。

也就是说，公平硬币下平均能拿走 1 英镑。这个数量级感觉是对的。

再多试一个：h 趋近于 1（硬币几乎总是正面），h/(1−h) 就趋向无穷——游戏几乎永远不结束，收益也就没有上限。同样说得通。

在面试里把这样的验算说出来，效果非常好：它说明你不只是在推公式，你还在关心公式的意思。

真实面试里这题会怎么进行

上面我把方法给得相当直接，但在真实的面试里，你会有长得多的时间去想，而且很可能会拿到提示。

这样一道题可能占掉二十分钟。他们要看的是：你怎么把文字变成式子，你怎么和那个无穷和搏斗，以及你怎样一点点摸到微积分那条线——而不是你多快甩出答案。

如果你两分钟就报出 h/(1−h)，导师大概率会立刻加码问一个更难的，因为他还没看到他要看的东西。

我建议你重点练的三件事

第一，把文字变成一个干净的式子，练到快。时间都是消失在这一步的。

第二，把几何级数，以及对它求导、求积分，练到熟。它们会反复出现，不只在这道题里。

第三，永远拿一个简单情形去验算你最后的表达式，并且把验算说出声。

最后想说的是：这道题真正在训练的，不是概率，而是一种耐受度——面对一个没有上限、看不到结尾的对象，你还能不能有条理地往前走一步。数学系的三年，大部分时间都是这个状态。